Ejercicios PAU. Principios generales.

Pertenencia

Pertenencia de un punto A a una recta R.

A pertenece a R si sus proyecciones están contenidas en las proyecciones homónimas de R.

a' € r' / a € r.

Pertenencia de una recta R a un plano P.

R pertenece a P si sus trazas están contenidas en las trazas homónimas de P.

v'r € P' / hr €P

Pertenencia de un punto A a un plano P.

A pertenece a P si pertenece a una recta R que pertenezca a P.
No se puede colocar un punto en un plano directamente, primero habrá que trazar una recta auxiliar R que pertenezca al plano y después situar el punto en ella.

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Rectas notables del plano

Los planos tienen como norma general 4 rectas notables. Las dibujo con el ejemplo más sencillo de un plano oblicuo:

Recta Horizontal de Plano: tiene su proyección vertical paralela a la Línea de Tierra y su proyección horizontal es paralela a la Traza Horizontal del Plano. Por ser una recta horizontal (paralela al PH), carece de Punto Traza Horizontal.

Recta Frontal de Plano: tiene su proyección horizontal paralela a la Línea de Tierra y su proyección vertical paralela a la Traza vertical del Plano. Por ser una recta frontal (paralela al PV) carece de Punto Traza Vertical.

Recta de Máxima Pendiente: Forma el mayor ángulo posible con el Plano Horizontal de proyección, su proyección horizontal es perpendicular a la Traza Horizontal del plano. Esta recta tiene la dirección que tomaría el agua para bajar por el plano.

Recta de Máxima Inclinación: Forma el mayor ángulo posible con el Plano Vertical de proyección, su proyección vertical es perpendicular a la Traza vertical del Plano.

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Definición de paralelismo

Se dice que dos elementos son paralelos cuando mantienen una distancia constante entre sí. Esto significa que nunca se cortarán y, por tanto, no contienen ningún punto en común.

Esto es aplicable a los tres casos que veremos de paralelismo entre rectas, entre planos y entre recta y plano.

Paralelismo entre rectas

Dos rectas son paralelas entre sí cuando sus proyecciones son paralelas.

Es muy importante observar que las proyecciones verticales tienen que ser paralelas entre sí y las proyecciones horizontales paralelas entre sí. De tal modo que si tenemos dos rectas dadas por sus proyecciones r’-r, s’-s, para que sean paralelas, r’ deberá ser paralela a s’ y r deberá ser paralela a s.

De esta manera, si tienes que dibujar una recta u´-u paralela a una dada t´-t por un punto a’-a, simplemente tendrás dibujar la proyección horizontal u paralela a t pasando por a y la proyección vertical u’ paralela a t’ pasando por a’.

Excepción

Rectas de perfil: Las proyecciones de una recta de perfil son siempre perpendiculares a la Línea de Tierra, pero eso no significa que todas las rectas de perfil sean paralelas entre sí. Necesitaremos hacer una tercera vista de perfil para ver la dirección de las rectas y comprobar si son o no paralelas.

Paralelismo entre rectas y planos

Una recta es paralela a un plano cuando es paralela a una recta contenida en el plano.

Esto significa que el paralelismo entre rectas y planos no se ve directamente en diédrico. Necesitaremos siempre una recta auxiliar para comprobar que son paralelos.

Por ejemplo, para dibujar una recta t´-t paralela a un plano dado Q´-Q que pase por un punto a’-a tendremos que dibujar una recta s’-s cualquiera contenida en el plano Q’-Q y luego trazar por el punto una recta paralela a dicha recta s’-s. (recuerda que para dibujar una recta contenida en un plano es necesario que sus puntos traza estén contenidos en las trazas del plano)

Paralelismo entre planos

Dos planos son paralelos entre sí cuando sus trazas son paralelas.

El paralelismo entre planos se ve directamente en Sistema Diédrico. Obviamente las trazas verticales tienen que ser paralelas entre sí y las trazas horizontales, paralelas entre sí. Dados dos planos en Sistema Diédrico definidos por sus trazas P’-P, Q’-Q, estos serán paralelos cuando P’ sea paralelo a Q’ y a su vez P sea paralelo a Q.

Para trazar un plano W’-W paralelo a uno dado X’-X pasando por un punto a’-a necesitaremos utilizar una recta auxiliar r’-r paralela al plano dado para definir los puntos traza por los que pasarán las trazas del plano paralelo. En este caso, te recomiendo que utilices la recta que más cómoda te resulte (horizontal, frontal…)

Excepciones

Planos paralelos a la Línea de Tierra
Planos que contienen a la Línea de Tierra

Estos dos tipos de planos tienen trazas paralelas a la Línea de Tierra o coinciden con ella, pero eso no significa que siempre sean paralelos entre sí. Para comprobar el paralelismo entre estos planos será necesario recurrir a la vista de perfil, que nos indicará la verdadera magnitud de su inclinación.

En el plano de perfil podremos definir si este tipo de planos son paralelos entre sí.

Dibujar un plano P’-P que contenga a la recta r’-r y que sea paralelo a la recta s’-s.

Las Láminas. Paralelismo 1.

Paralelismo 1.1 y 1.2

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Paralelismo 1.3 y 1.4

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Paralelismo 1.5 y 1.6

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Paralelismo 1.7 y 1.8

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Perpendicularidad en Sistema Diédrico

1. Recta perpendicular a plano

Una recta es perpendicular a un plano cuando sus proyecciones son perpendiculares a las trazas del plano.

Para dibujar una recta perpendicular a un plano dado por un punto, simplemente tendremos que dibujar sus proyecciones perpendiculares a las trazas del plano pasando por el punto.

Excepción: Planos paralelos a la Línea de Tierra y planos que contienen a la Línea de Tierra. En ambos casos, la recta perpendicular es una Recta de Perfil. Para ver la perpendicularidad necesitaremos un plano auxiliar de perfil.

2. Rectas perpendiculares entre sí

Dos rectas perpendiculares en el espacio, en general, no tienen sus proyecciones perpendiculares. Únicamente cuando una de las rectas es paralela a uno de los planos de proyección, las proyecciones de ambas rectas sobre este plano serán perpendiculares.

Esto quiere decir que, para dos rectas perpendiculares en el espacio:

Si una es horizontal, sus proyecciones horizontales son perpendiculares
Si una es frontal, sus proyecciones verticales son perpendiculares

Una recta es perpendicular a otra cuando está contenida en un plano perpendicular a dicha recta. Una recta es perpendicular a un plano cuando sus proyecciones son perpendiculares a las trazas del plano.

De aquí se deduce que un plano perpendicular a la recta contiene las infinitas rectas perpendiculares a dicha recta.

Recta perpendicular a otra por un punto

Para dibujar una recta perpendicular a otra dada por un punto existen 2 posibilidades:

Dibujar una recta horizontal o frontal que tenga sus proyecciones horizontales o verticales respectivamente perpendiculares a la dada y que pase por el punto.
Dibujar un plano perpendicular a la recta dada que pase por el punto y en él contener una recta. Esto lo veremos en el siguiente apartado.

3. Plano perpendicular a recta

Un plano es perpendicular a una recta cuando sus trazas son perpendiculares a las proyecciones de la recta (igual que hemos visto en el apartado 1)

Excepción: Rectas de Perfil. Para dibujar un plano perpendicular a una recta de perfil tendremos que utilizar un plano auxiliar de perfil.

Plano perpendicular a recta por un punto

Para dibujar un plano perpendicular a una recta por un punto dado utilizaremos una recta auxiliar que sea perpendicular a la dada y pase por el punto. Por sus puntos traza dibujaremos el plano perpendicular.

Ejemplo: Dibujar el plano P’-P perpendicular a la recta dada r’-r y que pase por el punto a’-a.

Dibuja la proyección horizontal de la recta s’-s que pase por a y sea perpendicular a la proyección horizontal r de la recta.
Dibuja proyección vertical s’ de la recta, que pase por a’ y sea paralela a la Línea de Tierra.
Obtén el punto traza vertical de dicha recta s’-s.
Pasa la traza vertical P’ del plano perpendicular a la proyección vertical r’ de la recta
Por el punto de corte de P’ con la Línea de Tierra dibuja la traza horizontal P del plano perpendicular a la proyección horizontal r de la recta

4. Planos perpendiculares entre sí

Dos planos son perpendiculares entre sí cuando uno de ellos contiene una recta perpendicular al otro.

Se deduce de aquí que:

Sus trazas no tienen que ser necesariamente perpendiculares.
Dado un plano, los infinitos planos que contienen a una recta perpendicular al dado serán perpendiculares a este.

Plano perpendicular a otro por un punto

Dado un plano P’-P y un punto a’-a, dibujar otro plano Q’-Q perpendicular al dado.

Dibuja una recta r’-r perpendicular a P’-P que pase por a’-a y halla sus puntos traza.
Dibuja cualquier plano que contenga a la recta r’-r, es decir, cuyas trazas pasen por los puntos traza de la recta.

Como puedes comprobar, este ejercicio tiene infinitas soluciones.