Representación, desarrollo y secciones planas.
Hexaedro con una de sus caras apoyada en el plano horizontal de proyección.
El contorno aparente en proyección horizontal es un cuadrado cuyo lado es igual a la verdadera magnitud de las aristas. Dibujado el cubo en posición arbitraria en proyección horizontal, dibujamos su proyección vertical sabiendo que su altura es igual a la verdadera magnitud de las aristas. Figura 1.
Cubo con cara apoyada en el Plano Horizontal de proyección
Hexaedro con una de sus aristas contenida en uno de los planos de proyección.
Opción 1
Enlace a Mongge
Opción 2
Enlace a Mongge
Enlace a Mongge
Dadas las proyecciones diédricas de la arista A-B contenida en el plano horizontal de proyección dibujaremos las proyecciones diédricas del hexaedro. Para ello dibujamos un plano P perpendicular a la arista dada (proyectante horizontal por tanto) y que contenga a uno de sus extremos (A). El plano P dibujado contendrá a una de las caras del hexaedro.
Abatimos el plano P en el plano horizontal de proyección y dibujamos la cara mencionada teniendo en cuenta que uno de sus vértices es el propio punto A y en donde uno de sus lados forme un ángulo a arbitrario de no indicarse lo contrario, con el plano horizontal de proyección.
Por los vértices A, E, C y G de esta cara pasarán aristas perpendiculares a ella y por tanto al plano P, desabatimos pues estos puntos y trazamos por ellos las mencionadas aristas perpendiculares a P, que estarán delimitadas en el otro extremo por los vértices B, D, H y F que quedan determinados pues sabemos que las magnitudes de todas estas aristas es idéntica y que todas ellas se muestran en verdadera magnitud por tratarse de rectas horizontales.
Dibujamos las proyecciones verticales de los vértices trazados y completamos el dibujo del hexaedro determinando sus aristas vistas y ocultas. Figura 2.
Hexaedro con una de sus diagonales perpendicular a uno de los planos de proyección.
Atomium de Bruselas
Método directo Enlace a Mongge
Usando Giro Enlace a Mongge
Conocida la arista del cuerpo, dibujaremos previamente el hexaedro apoyado por una de sus caras en el plano horizontal de proyección (colocaremos una de las diagonales de esta cara, de punta o con su proyección horizontal perpendicular a la línea de tierra.)
Se pretende representar el hexaedro con una de sus diagonales principales en posición vertical, para ello tomaremos la diagonal C-E, ya representada, y la giraremos el ángulo a necesario hasta convertirla en recta vertical, tomamos para el giro un eje de punta que contenga al extremo C de dicha diagonal. Efectuamos, con este mismo eje de giro, el mismo giro (igual ángulo y sentido de giro) para todos los vértices del hexaedro previamente representado, obteniendo de este modo el cuerpo en la posición requerida. Figura 3.
Podemos observar en las proyecciones así obtenidas, que el contorno de las aristas en proyección horizontal representa un hexágono regular por cuyo centro pasa la “diagonal vertical” y que las caras del cubo presentan, en esta proyección, una de sus diagonales en verdadera magnitud por presentarse paralelas al plano horizontal de proyección. Las diagonales de las caras del cubo, mencionadas, forman además entre sí triángulos equiláteros inscritos en la circunferencia circunscrita del hexágono antedicho. Se forman dos triángulos equiláteros (no dibujados), uno formado por las diagonales de las caras que concurren en uno de los extremos de la diagonal vertical y otro entre las diagonales de las caras del cubo que concurren en el otro extremo de dicha diagonal. Por otro lado se advierte que, en proyección vertical, las alturas de los vértices del hexaedro se corresponden con alguna de las tres divisiones iguales, efectuadas a la diagonal vertical del cuerpo.
Las características recién observadas son comunes a cualquier hexaedro que tenga una de sus diagonales en posición “vertical” por lo que podremos, haciendo uso de ellas, dibujar en adelante los hexaedros así dispuestos sin necesidad de realizar el giro de la figura 3. Así se ha procedido en el ejemplo de la figura 4, partiendo de la magnitud de la arista del cubo, este se ha representado directamente con una de sus diagonales en posición vertical.
Para ello se ha representado en la figura 4 y en proyección horizontal, (con posición y orientación no definidas), un triángulo equilátero cuyo lado es igual a la verdadera magnitud de la “diagonal de las caras cuadradas del cubo” y en proyección vertical se ha dibujado, por el centro del triángulo equilátero antedicho, una “diagonal del cubo” que se ha dividido en tres partes iguales para determinar las alturas de los vértices del cuerpo.
Calculando el hexágono regular inscrito en la circunferencia circunscrita del triángulo y de vértices coincidentes con los vértices de este, obtenemos la proyección horizontal del contorno aparente del cuerpo. Completamos esta proyección dibujando las aristas que concurren en los extremos de la diagonal vertical.
Dibujamos la proyección vertical del cuerpo sin más que adjudicar a cada vértice su correspondiente altura de las cuatro posibles definidas al dividir en tres partes iguales la diagonal vertical.
Para determinar la magnitud de la diagonal del cuadrado de las caras y la magnitud de la diagonal del cubo, se ha procedido según la ilustración de la figura 5A.
En ella se aprecia que el valor de la diagonal del cuadrado es igual que el de la hipotenusa de un triángulo rectángulo e isósceles, de lados iguales a las aristas del cubo, y que la diagonal del cubo es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyo cateto menor es arista del cubo siendo su cateto mayor igual a la magnitud de la diagonal de las caras del cubo. Figura 5B.
Desarrollo.
Se resuelve como en el caso del prisma recto, en cualquier caso tendremos que dibujar seis caras cuadradas con el mayor número posible de aristas comunes. El lado del cuadrado es arista del hexaedro, si es necesario mediante un giro se calcula su verdadera magnitud. Figura 6.
Secciones.
Sección producida por un plano horizontal.
Dado el plano horizontal H, la sección producida por este en el cuerpo se aprecia directamente en proyección vertical por ser el plano proyectante en este plano de proyección. La verdadera magnitud de la sección es la propia proyección horizontal de la sección pues, por ser H un plano paralelo al plano horizontal de proyección, no sufren deformación lineal ni angular las proyecciones horizontales de los elementos en él contenidos. Figura 7.
Hexaedro con una de sus caras apoyada en un plano ascendente.
Dado el plano Q paralelo a la línea de tierra y la proyección horizontal -a- del punto A en él contenido, representaremos un hexaedro con una de sus caras apoyada en el plano dado y uno de sus vértices coincidentes con el punto A dado. La magnitud de la arista y la orientación del cubo se dispondrán arbitrariamente.
Calcularemos primero la proyección vertical del punto A dado mediante una recta del plano. En el ejercicio nos hemos auxiliado de una recta oblicua u’-u del plano, para determinar la proyección vertical del punto A.
Normalmente tomamos rectas auxiliares horizontales o frontales del plano dado, por tratarse de un plano paralelo a la línea de tierra no podemos tomar rectas de este tipo, tomaremos pues una recta oblicua cualquiera.
Abatimos el punto A sobre uno de los planos de proyección (plano horizontal de proyección en la figura 8) y dibujamos en verdadera magnitud lineal y angular la cara A, B, A, D que pretendemos colocar en el plano dado Q (con orientación y de magnitud arbitrarias). Desabatimos la cara así dibujada y obtenemos su proyección horizontal. Mediante rectas del plano (S, T y V), calculamos su proyección vertical.
Las aristas laterales del cubo (segmentos B-X, D-G, C-H y A-F), coinciden con rectas perpendiculares al plano Q trazadas por los puntos A, B, C y D de la cara dibujada. Por tratarse de un plano paralelo a la línea de tierra, no basta, como en otras ocasiones, con trazar por estos puntos rectas que presenten sus proyecciones normales a las trazas homónimas del plano pues de este modo, cualquier recta de perfil sería perpendicular al plano Q y esto no es cierto. Para trazar rectas perpendiculares al plano Q por los puntos A, B, C y D de la cara en él contenida, recurrimos a la tercera proyección o proyección sobre un plano de perfil P. En esta vista de perfil dibujamos la traza Q” del plano Q dado con el plano de perfil. Calculamos una de las proyecciones de perfil -c”- de uno de los puntos -C- de la cara situada en el plano Q del cubo. Por la proyección de perfil del punto C podemos, ahora sí, trazar una recta perpendicular al plano Q, sin más que hacerlo a su traza de perfil Q”.
Para determinar el extremo H de la arista C-H perteneciente a esta recta, llevamos a partir de c” la verdadera magnitud de la arista del cubo y obtenemos h”. Por tratarse de la tercera proyección de una recta de perfil, esta se presenta en verdadera magnitud (la recta es paralela al plano de perfil), por lo que podemos situar la verdadera magnitud de la arista del cubo directamente a partir de la proyección c” obteniendo de este modo h”.
Todas las rectas que contienen a las aristas laterales del cubo son rectas de perfil (normales a las trazas homónimas del plano Q). Una recta de perfil queda absolutamente definida conociendo dos puntos de ella, uno de ellos es en nuestro caso alguno de los pertenecientes a la cara A, B, C o D contenida en el plano, los otros serán los extremos superiores correspondientes de las aristas laterales que deben de estar ubicados de tal modo que los segmentos definidos sean perpendiculares al plano Q y cuya magnitud sea igual a la magnitud de la arista del cubo dibujado. Esto es lo que le sucede a la arista C-H, es normal al plano Q y su magnitud L igual a la arista del cubo.
Definido el punto H por su proyección de perfil, obtenemos sus proyecciones vertical y horizontal. Para determinar las proyecciones diédricas de los vértices restantes del cubo, trazamos por la proyección vertical y horizontal del punto Haristas paralelas a las de la cara inferior A, B, C y D hasta cortar a las aristas correspondientes (paralelas todas a la arista C-H) en los puntos X, G y F.
Determinados los ocho vértices del hexaedro solo nos queda determinar cuáles son sus partes vistas y ocultasteniendo en cuenta que este se introduce, en el ejemplo, en el segundo diedro. En principio las aristas ocultas son, en proyección vertical, las que concurren en el vértice D que es el más cercano al plano vertical de proyección y en proyección horizontal las concurrentes en el punto A.
Por introducirse en el segundo diedro, la proyección horizontal del cuerpo se muestra oculta (de puntos) a partir de la línea de tierra. Las zonas ocultas en proyección vertical, correspondientes al segundo diedro, se comenzarán en las trazas verticales de las aristas. Las trazas de las aristas de la base A, B, C y D, contenida en el plano Q, quedan definidas por las intersecciones entre ellas y la traza vertical del plano Q
Las trazas verticales de las aristas laterales podemos obtenerlas a partir de la intersección entre ellas y la traza vertical del plano de perfil. La única arista lateral que presenta traza (v’r) con el plano vertical de proyección es la C-H de la que se calcula su proyección vertical a partir de su proyección de perfil.
En la figura 8 se ha dibujado la proyección de perfil completa del cuerpo para entender mejor que partes del hexaedro se introducen en el segundo diedro (sección del plano de proyección vertical con el propio cuerpo), si bien no resulta necesario trazar, en tercera proyección, nada más que la recta R y en ella el segmento C-H para definir la perpendicularidad y la ubicación de los vértices de la base superior como hemos visto.
Sección producida por un plano cualquiera.
